함수의 극한 (1) - 함수의 수렴과 발산

함수의 수렴과 발산

함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때($x\rightarrow a$) $f(x)$의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 L에 수렴한다. ('모이다'라는 뜻)

여기서 L을 함수 $f(x)$에서의 극한값 or 극한이라고 함.

표현하는 방법: $x\rightarrow a$일 때 $f(x)\rightarrow L$

기호로 나타내기: $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L$ (x가 a로 다가갈 때 f(x)는 L로 다가간다.)

 

발산: 수렴하지 않는 모든 경우 (함수 $f(x)$가 어느 값으로도 수렴하지 않으면 함수 $f(x)$는 발산한다고 한다.)

함수 $f(x)$에서 x의 값이 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때,

[1]

$f(x)$의 값이 한없이 커지면 $f(x)$는 양의 무한대로 발산

$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\infty$ 또는 $x\rightarrow a$일 때 $f(x)\rightarrow \infty$

x 값이 0에 가까워지면 y 값은 양의 무한대로 발산한다.

 

[2]

$f(x)$의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함수 $f(x)$는 음의 무한대로 발산

$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=-\infty$ 또는 $x\rightarrow a$일 때 $f(x)\rightarrow -\infty$

x 값이 양의 무한대로 커지면 y 값은 음의 무한대로 발산한다.

 

* 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 정의되지 않을 때도 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$가 존재할 수 있다!

 

# Keypoint 1 ⭐️⭐️⭐️

$\frac{\pm a}{\pm\infty}\Rightarrow 0$ (수렴)

무한대 분의 상수는 0에 수렴한다. (상수 a와 무한대는 음수든 양수든 상관 없음)

 

# TIP

∞ + ∞ ⇒ ∞

∞ ± a ⇒ ∞

∞ × (양수) ⇒ ∞

∞ × (음수) ⇒ -∞

∞ × ∞ ⇒ ∞

 

* 0에 다가가는 수를 (0)으로 표현하면,

∞ - ∞ ⇒ ??? (결과를 예측할 수 없음 (부정형))

∞ ÷ ∞ ⇒ ??? (결과를 예측할 수 없음 (부정형))

(0) ÷ (0) ⇒ ??? (결과를 예측할 수 없음 (부정형))

∞ × (0) ⇒ ??? (결과를 예측할 수 없음 (부정형))

 

# Keypoint 2 ⭐️⭐️⭐️

* 0에 다가가는 수를 (0)으로 표현하면,

$\frac{a}{(0)}\Rightarrow \pm\infty$ (발산)

(0)의 부호와 a의 부호가 같으면 양의 무한대(∞)

(0)의 부호와 a의 부호가 다르면 음의 무한대(-∞)

 

EDITOR: SCIAN https://blog.scian.io/ admin@scian.io IT LOVER | DEVELOPER | ARTIST MATH & SCIENCE