수학적 귀납법

수열의 귀납적 정의

: 일반적으로 수열 {$a_n$}을 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 정의하는 것

 

 

등차수열의 귀납적 정의

[1]

$a_{n+1}=a_n+d$

$\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=d$ (일정)  (이항)

$\Leftrightarrow 2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ (등차중항의 성질 이용)

 

[2]

$a_{n+1}=a_n+f(n)$

→ $a_n=a_1+f(1)+f(2)+...+f(n-1)$ (축차대입법 이용)

→ $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$

(외워두면 정말 편리?)

 

 

등비수열의 귀납적 정의

[1]

$a_{n+1}=r\times a_n$

$\Leftrightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ (일정)

$\Leftrightarrow a_{n+1}^2=a_n\times a_{n+2}$

→ $a_{n+1}=\pm \sqrt{a_n\times a_{n+2}}$

 

[2]

$a_{n+1}=f(n)\times a_n$

→ $a_n=a_1\times f(1)\times f(2)\times ...\times$

 

 

수학적 귀납법

자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 증명하려면,

다음의 두 가지를 보이면 된다.

 

[1]

n=1일 때, 명제 $p(n)$이 성립한다.

 

[2]

n=k일 때, 명제 $p(n)$이 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때에도 명제 $p(n)$이 성립한다.

 

>>

[1]에 의하여 $p(1)$이 참이다.

[2]에 의하여 $p(1+1)$, 즉 $p(2)$가 참이다.

[2]에 의하여 $p(2+1)$, 즉 $p(3)$가 참이다.

...

따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 명제 $p(n)$이 참이다.