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๋ฏธ๋ถ„๊ณ„์ˆ˜์™€ ๋„ํ•จ์ˆ˜ (3) - ๋„ํ•จ์ˆ˜, ๋ฏธ๋ถ„๋ฒ•์˜ ๊ณต์‹, ๊ณฑ์˜ ๋ฏธ๋ถ„๋ฒ•

๋„ํ•จ์ˆ˜

y=f(x) ์œ„์˜ ์ž„์˜์˜ ์  (x,f(x))์—์„œ์˜ ์ ‘์„ ์˜ ๊ธฐ์šธ๊ธฐ์— ๋Œ€์‘ํ•˜๋Š” ํ•จ์ˆ˜

โ–ถ ๋„ํ•จ์ˆ˜ (๊ธฐ์šธ๊ธฐ ํ•จ์ˆ˜)

โ–ถ fโ€ฒ(x)

โ–ถ yโ€ฒ

โ–ถ df(x)dx

 

 

๋”๋ณด๊ธฐ

โ–ถ ํ•จ์ˆ˜ y=f(x)๊ฐ€ ์ •์˜์—ญ์— ์†ํ•˜๋Š” ๋ชจ๋“  x์—์„œ ๋ฏธ๋ถ„๊ฐ€๋Šฅํ•  ๋•Œ, ์ •์˜์—ญ์˜ ๊ฐ ์›์†Œ x์— ๋ฏธ๋ถ„๊ณ„์ˆ˜ f'(x)๋ฅผ ๋Œ€์‘์‹œํ‚ค๋ฉด ์–ป์„ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ํ•จ์ˆ˜๋ฅผ y=f(x)์˜ ๋„ํ•จ์ˆ˜๋ผ ํ•˜๋ฉฐ, f'(x)๋กœ ๋‚˜ํƒ€๋‚ธ๋‹ค.

๋„ํ•จ์ˆ˜์˜ ์ •์˜์‹ 1๊ฐ€์ง€! (โšก๏ธ์•”๊ธฐ)
โญ๏ธโญ๏ธ fโ€ฒ(x)=limhโ†’0f(x+h)โˆ’f(x)h โญ๏ธโญ๏ธ

(h ๋Œ€์‹  ฮ”x๋กœ ํ‘œํ˜„ํ•˜๊ธฐ๋„ ํ•จ)

 

๋‹ค๋ฅธ ํ‘œํ˜„ ๋ฐฉ๋ฒ•:

limฮ”xโ†’0ฮ”yฮ”x=dydx(๋””์—‘์Šค ๋ถ„์˜ ๋””์™€์ด๊ฐ€ ์•„๋‹Œ ๋””์—‘์Šค ๋””์™€์ด๋กœ ์ฝ์Œ)

 

ํ•จ์ˆ˜ f(x)์—์„œ ๋„ํ•จ์ˆ˜ fโ€ฒ(x)๋ฅผ ๊ตฌํ•˜๋Š” ๊ฒƒ์„ f(x)๋ฅผ x์— ๋Œ€ํ•˜์—ฌ ๋ฏธ๋ถ„ํ•œ๋‹ค๊ณ  ํ•œ๋‹ค. (๋“œ๋””์–ด ๋‚˜์˜ค๋Š” ๋ฏธ๋ถ„)

* ๊ทธ ๊ณ„์‚ฐ๋ฒ•์„ ๋ฏธ๋ถ„๋ฒ•์ด๋ผ ํ•จ

 

โญ๏ธ n์ฐจ์˜ ๋‹คํ•ญํ•จ์ˆ˜๋ฅผ ๋ฏธ๋ถ„ํ•˜๋ฉด n-1์ฐจ์˜ ํ•จ์ˆ˜๊ฐ€ ๋‚˜์˜ค๊ฒŒ ๋จ!

 

๋ฏธ๋ถ„๋ฒ•์˜ ๊ณต์‹

[1] ๋ฏธ๋ถ„๋ฒ• ๊ธฐ๋ณธ ๊ณต์‹

(xn)โ€ฒ=nโ‹…xnโˆ’1  (yโ€ฒ=nโ‹…xnโˆ’1)

 

[2] ๋‘ ํ•จ์ˆ˜๊ฐ€ ๋ฏธ๋ถ„ ๊ฐ€๋Šฅํ•  ๋•Œ,

y=cf(x)(c๋Š” ์ƒ์ˆ˜)์ด๋ฉด (cโ‹…f(x))โ€ฒ=cfโ€ฒ(x) (์ƒ์ˆ˜๋Š” ๊บผ๋‚ด์„œ ๊ณฑํ•จ)

cf) (c)' = 0์ด๋ฏ€๋กœ ๋”ํ•ด์ง„ ์ƒ์ˆ˜๋Š” ์ œ๊ฑฐ

 

[3] ๋‘ ํ•จ์ˆ˜๊ฐ€ ๋ฏธ๋ถ„ ๊ฐ€๋Šฅํ•  ๋•Œ,

(f(x)+g(x))โ€ฒ=fโ€ฒ(x)+gโ€ฒ(x)

(f(x)โˆ’g(x))โ€ฒ=fโ€ฒ(x)โˆ’gโ€ฒ(x)

 

* ์ผ์ฐจํ•จ์ˆ˜ y=ax+b ๋ฏธ๋ถ„ โ†’ y'=a

 

๊ณฑ์˜ ๋ฏธ๋ถ„๋ฒ•

> ํ•˜๋‚˜์”ฉ ํ•˜๋‚˜์”ฉ ๋ฏธ๋ถ„ํ•˜๊ณ  ๋„˜์–ด๊ฐ„๋‹ค!

 

[1]

y=f(x)g(x)์ด๋ฉด yโ€ฒ=fโ€ฒ(x)g(x)+f(x)gโ€ฒ(x)

 

[2]

y=f(x)g(x)h(x)์ด๋ฉด yโ€ฒ=fโ€ฒ(x)g(x)h(x)+f(x)gโ€ฒ(x)h(x)+f(x)g(x)hโ€ฒ(x)

 

[+]

({f(x)}n)โ€ฒ=n(f(x))nโˆ’1ร—fโ€ฒ(x)

 

 


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