함수의 극한 (4) - 함수의 극한값의 계산 & 미정계수의 결정 & 함수의 극한의 대소 관계

함수의 극한 (3) 편

함수의 극한 (3) - 함수의 극한에 대한 성질

 

함수의 극한값의 계산

[1] $\frac{0}{0}$ 꼴의 극한

(0은 숫자 0이 아니라 0에 한없이 가까워지는 것을 나타냄)

▶ 식 변형 (⭐️인수분해 / 유리화(근호가 나올 때) / 통분⭐️ 딱 세가지로 1,2,3번 사용!)

ex) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}x+2$=4

 

[2] $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ 꼴의 극한

▶ 식 변형 (분모의 큰 것(차수가 큰 것)으로 위/아래를 나눈다.)

ex)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{3x^2+2x+1}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{5}{x}}{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{0}{3}=0$ (수렴)

 

분자차수 < 분모차수 : 극한값 0 (0으로 수렴)

분자차수 = 분모차수 : 극한값 최고차항 계수비 (분모의 큰 것과 분자의 큰 것의 비, 짱들의 비?)

분자차수 > 분모차수 : 극한값 ∞ or -∞ (발산)

 

⭐️ $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$일 때:

$x\rightarrow -\infty$

$-x = t$

$t\rightarrow \infty$    ($x=-t$)

한 후 $\lim_{t\rightarrow \infty}f(-t)$로 바꿔서 풀기!

 

[3] ∞-∞ 꼴

[4] $\infty\times 0$ 꼴: 주로 통분을 많이 함

$\infty\times c,\ \ \frac{c}{\infty},\ \ \frac{0}{0},\ \ \frac{\infty}{\infty}$ 꼴로 변형 (앞의 3가지로 변형)

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미정계수의 결정

[1]

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$ ($\alpha$는 실수)이고 $\lim{x\rightarrow a}g(x)=0$이면 $\lim{x\rightarrow a}f(x)=0$

 

[2]

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$ ($\alpha$는 0이 아닌 실수)이고 $\lim{x\rightarrow a}f(x)=0$이면 $\lim{x\rightarrow a}g(x)=0$

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함수의 극한의 대소 관계 (a.k.a. 협공의 원리, 샌드위치 공식)

Note: x→a+, x→a-, x→∞, x→-∞일 때도 성립

[1]

$f(x)\leq g(x)$이고 극한값 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)$와 $\lim_{x \rightarrow a}g(x)$가 존재하면 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)\leq\lim_{x \rightarrow a}f(x)$

⭐️주의: $f(x)<g(x)$이더라도 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)\leq\lim_{x \rightarrow a}f(x)$이다! (없던 등호가 생김) ⭐️

⭐️주의: $f(x)<g(x)$일 때 $\lim_{x \rightarrow a}f(x)<\lim_{x \rightarrow a}f(x)$라고 하면 틀리다! ⭐️

 

[2]

$f(x)\leq h(x)\leq g(x)$(등호 없어도 상관 없음)이고  $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\lim_{x \rightarrow a}g(x)=L$($L$은 실수)이면  $\lim_{x \rightarrow a}h(x)=L$

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