도함수의 활용 I (2) - 롤의 정리, 평균값 정리

도함수의 활용 I (1) 편

도함수의 활용 I (1) - 접선의 방정식

 

고등 수학 II에서 나오는 4가지 정리

• 최대·최소 정리
• 사잇값 정리
• 롤의 정리
• 평균값 정리

* 최대·최소 정리와 사잇값 정리는 아래 글 참고:

2021.08.20 - [♾ 수학/수학 II] - 함수의 연속

함수의 연속

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롤의 정리

함수 $f(x)$가

1️⃣ 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고,

2️⃣ 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때,

3️⃣ $f(a)=f(b)$이면

$f'(c)=0$인 $c$가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

→ $y=f(x)$에서 $f(a)=f(b)$이면 x축과 평행한 접선(기울기=0)을 갖는 점이 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

빨간색 직선 부분에서 $f'(c)=0$

➕f'(x)=0일 때 f(x)는 상수함수 (평균값 정리의 활용 참고)

 

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평균값 정리 ⭐️⭐️

함수 $f(x)$가

1️⃣ 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고,

2️⃣ 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때,

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$가 $a$와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

→ $y=f(x)$ 위의 두 점 $(a, f(a)), (b, f(b))$를 잇는 직선과 평행한 접선을 갖는 점이 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

 

▶ 평균값 정리에서 $f(a)=f(b)$인 경우가 롤의 정리이다.

 

 

평균값 정리의 활용

(평균값 정리의 조건 하에서: f(x), g(x)가 [a, b]에서 연속, (a, b)에서 미분가능할 때 (a, b)에 속하는 모든 x에 대하여)

1️⃣

(∀$x$에 대하여) $f'(x)=0$이면 f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 상수함수이다.

 

2️⃣ 

$f'(x)=g'(x)$이면 닫힌구간 [a, b]에서

▶ $f(x)=g(x)+k$ (k는 상수)

▶ $f(x)-g(x)=k$ (k는 상수)

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EDITOR: SCIAN https://blog.scian.io/ admin@scian.io IT LOVER | DEVELOPER | ARTIST MATH & SCIENCE