등차수열과 등비수열

용어정리

수열: 규칙성있는 수의 배열

항: 수열을 이루고 있는 각 수

일반항: 수열을 a1, a2, an 이라고 할 때, 제 n항을 수열의 일반항이라고 한다.
(n값만 대입하면 바로 n번째 항의 값을 구할 수 있다.)

등차수열

: 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열

공차: 등차수열에서 더하는 일정한 수 (공통된 차이)

등차수열의 일반항:
$an=a+(n-1)d$ (d: 공차)

등차중항: a,b,c가 순서대로 등차수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등차중항이라고 한다.
$b=\frac{a+c}{2}$ (b는 a와 c의 산술평균이다.)

등차수열의 합

등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하면,
(가우스가 1부터 100까지 더한 공식 이용)

$\frac{100(100+1)}{2}$

아래 두 공식 반드시 외우기!!!

[1]
첫째항이 $a$, 제 $n$ 항이 $l$일 때,
$S_n=\frac{n(a+l)}{2}$

[2]
첫째항이 a, 공차가 d일 때,
$S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$

수열의 합과 일반항 사이의 관계

수열 {an}의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 Sn이라고 하면, ($S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$)
$a_1=S_1, \ \ a_n = S_n - S_{n-1}$ (n>=2)

**주의: $a_1$은 무조건 $S_1$로 구해야 한다!
(단, a에 0 대입했을때 0이 나오면$a_n$으로 구해도 된다!)

수열의 합이 상수항이 0인 n에 대한 이차식 ($an^2+bn$)이라면,
그 수열의 합은 반드시 등차수열의 합이다!**

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증명
$S_1 = a_1$
$S_2 = a_1 + a-2$
$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$
$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n$ 일 때, 좌변에 $a_n$만을 남겨놓으면 (오른쪽 변에서 이항)
$a_1 = S_1$
$a_2 = S_2 - S_1$
$a_3 = S_3 - S_2$
...
$a_n = S_n - S_{n-1}$
이 되므로
$a_1 = S_1 , \ \ a_n = S_n - S_{n-1}$
위 식이 성립하게 된다.

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등비수열

: 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열

공비: 등비수열에서 곱하는 일정한 수 (공통된 비율)

등비수열의 일반항 (첫째항이 $a$, 공비가 $r$($r!=0$):
$a_n = ar^{n-1}$

등비중항: 0이 아닌 세 수 $a,b,c$가 순서대로 등비수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등비중항이라고 한다.
$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$이므로 $b^2=ac$이다.
>> $b=\pm\sqrt{ac}$

* 등비수열을 이루는 세 수는 $a,ar,ar^2$(a!=0)으로 놓는다.

등비수열의 합

첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 $S_n$이라 하면,

[1]
r!=1일 때, $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
$S_n = \frac{초항(공비^{항수}-1)}{공비-1}$ = $\frac{초항(1-공비^{항수})}{1-공비}$

[2]
r=1일 때, $S_n=na$

* 원리합계: 이자 계산이 된 총 금액 (적금을 넣었을 때 만기 될 때 받는 이자를 포함한 금액) / 복리로: 등비수열로

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EDITOR: SCIAN https://blog.scian.io/ IT LOVER | DEVELOPER | ARTIST MATH & SCIENCE