양자역학 (4) - 1차원 상자 속 입자

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Intro

우리는 일반화학에서 다루는 양자역학 중에서 암기해야 할, Point 부분만을 골라 학습할 것이다.

양자역학 자체가 접하기도 어렵고, 이해하기는 더더욱 어렵기 때문에, 특히 시험을 앞둔 과학고/영재학교생이나 대학생은 암기하는 데 중점을 둘 것을 권장한다. 다만, 본 글에서는 수식적 증명의 과정을 비교적 상세히 작성하여 풀이에도 집중할 수 있도록 하였다.

필자 또한 암기에 도움을 받고자 본 글을 작성한다. 본문은 노트 필기와 비슷한 방식으로 작성될 것이며, 문장보다는 수식 또는 이미지 혹은 개요식의 텍스트가 중점적으로 배치될 것이다. 다만, 필요한 경우 문장으로 풀어서 설명할 수 있다.

앞으로 약 3~4개의 포스팅을 통해 양자역학에 대해 배우게 (암기하게) 될 것이다.

준비가 되었다면, 아래로 스크롤을 내리자!

 

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* 이전 편 (슈뢰딩거 파동방정식 편)을 보고 오시는 것을 권장드립니다!

2023.02.09 - [🏫 Study/Chemistry] - 양자역학 (3) - 슈뢰딩거 파동 방정식

양자역학 (3) - 슈뢰딩거 파동 방정식

 

1차원 상자 속 입자

1차원 상자 속 입자의 전자 발견 확률에 대해 살펴보자.

우선, $\psi(x)$를 이용해 구하면 확률이 음수가 나올 수 있으므로, 그냥 닥치고 제곱하자.

그러면, 전자 발견 확률은 $\psi(x)^2$이 된다.

 

이제 3가지 조건을 살펴보자.

 

물리적 조건 ⭐️

아래 적분식 하나를 기억해 두도록 하자.

$\int^{L}_{0}\psi(x)^2dx=1$

 

경계 조건 ⭐️

$\psi(x)=A\sin kx +  B\cos kx$

이 때, x=0이면 $\psi(0)=0$이고, $B=0$이어야 한다.

x=L이면 $\psi(L)=0$이며, $A\neq 0$이어야 한다.

그렇다면, x=L인 상황에서 $\sin kL=0$이어야 하고, 이를 만족시키기 위해서는 $kL=n\pi$여야 한다.

이를 k에 대해 정리하면, $k=\frac{n\pi}{L}$이고, 이를 $\psi(x)$에 대입하면,

$\large \psi(x)=A \sin \frac{n\pi}{L}\cdot x$

 

수학적 조건

이는 모든 위치에서 $\psi(x)$가 연속임에 대한 것으로, 간혹 수식적 과정이 시험에 나올 수 있으니 유의하자.

 

$\large \int^L_0 A^2\sin^2\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$

 

$\therefore A^2\frac{L}{2}=1$

 

$A=\sqrt{\frac{2}{L}}$

 

이 A 값을 $\psi(x)$에 대입하면,

$\large \psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi}{L}x$

 

위 식을 두 번 미분하면,

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi}{L}x$

 

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\cdot \psi(x)$

 

양변에 $\large -\frac{h^2}{8\pi^2m}$을 곱하면,

 

$\large -\frac{h^2}{8\pi^2m}\cdot \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$

 

$\large \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\frac{8\pi^2m}{h^2}E\psi(x)$

 

$\large -\frac{n^2\pi^2}{L^2}\cdot \psi(x)=-\frac{8\pi^2m}{h^2}E\psi(x)$

 

$\large E=\frac{n^2h^2}{8mL^2}$

 

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Intermission

본 포스팅에서는 1차원 상자 속 입자의 전자 발견 확률에 대해 다뤘다.

다음 포스팅에서는 3차원으로 넘어가 보자.