양자역학 (1) - 보어 원자모형 (Bohr Model)

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Intro

우리는 일반화학에서 다루는 양자역학 중에서 암기해야 할, Point 부분만을 골라 학습할 것이다.

양자역학 자체가 접하기도 어렵고, 이해하기는 더더욱 어렵기 때문에, 특히 시험을 앞둔 과학고/영재학교생이나 대학생은 암기하는 데 중점을 둘 것을 권장한다. 다만, 본 글에서는 수식적 증명의 과정을 비교적 상세히 작성하여 풀이에도 집중할 수 있도록 하였다.

필자 또한 암기에 도움을 받고자 본 글을 작성한다. 본문은 노트 필기와 비슷한 방식으로 작성될 것이며, 문장보다는 수식 또는 이미지 혹은 개요식의 텍스트가 중점적으로 배치될 것이다. 다만, 필요한 경우 문장으로 풀어서 설명할 수 있다.

앞으로 약 5~6개의 포스팅을 통해 양자역학에 대해 배우게 (암기하게) 될 것이다.

준비가 되었다면, 아래로 스크롤을 내리자!

 

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보어 원자 모형

원자의 구조를 마치 태양계처럼 양전하를 띤 조그만 원자핵 주위를 전자들이 원형 궤도를 따라 돌고 있는 것으로 묘사하는 원자 모형
— Wikipedia

(c) Wikimedia Commons (JabberWok)

 

보어의 가정

보어는 자신의 원자모형에 대해 다음과 같은 가정을 하였다.

1. 전자는 특정 궤도(에너지 준위)에서 원운동하며, 궤도 사이에는 전자 존재하지 않는다.
2. 구심력 = 원심력 (힘의 평형)
   원자핵과 전자 사이의 정전기적 인력, 즉 쿨롱의 힘이 작용
   $\large Q=\frac{Z\cdot e^2}{4\pi \epsilon_0 \cdot r^2}$
   (이 때, $Z$: 원자번호, $e$: 전하량, $\epsilon_0$: 유전율, $r=r_n$; 즉 n번째 껍질의 반지름)
   
   또한, $\large Q= \frac{mv^2}{r}$을 대입하면 다음이 성립한다.
   
   $\large \frac{mv^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$
3. 전자가 다른 궤도로 이동할 때, 전자는 에너지를 방출하거나 흡수한다.

 

여기서 보어의 가정 1번을 설명하려면 두 가지 개념을 이해할 필요가 있다.

드브로이 물질파

쉽게 말하자면, 양자역학에서 말하는 물질의 파장으로, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

 

$\large \lambda = \frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$

원형정류파

허용된 파장이 정수배임을 알 수 있다.

$n\lambda = 2\pi r$

$\large r_n=\frac{n\lambda}{2\pi}$

 

 

위에서 설명한 드브로이 물질파와 원형정류파를 이용하면, 특정 궤도에 전자가 구속됨을 알 수 있다.

(다만, 위의 두 내용은 고등 물리학 범위이므로 자세히 언급하지는 않겠다.)

 

이제, 뤼드베리 공식에 대해 간단히 소개한 후, 수소 원자에서 n번째 껍질의 에너지 준위($E_n$)를 구하는 과정을 정리해 보고자 한다.

 

뤼드베리 공식

뤼드베리 공식은 입자 물리학에서 대부분의 원소 스펙트럼 계열의 파장을 정확하게 구할 수 있는 공식으로, 1888년 스웨덴의 요하네스 뤼드베리가 발견하였다.
- Wikipedia - 

$\large \frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$

 

각운동량

$\large L=m\cdot v\cdot r_n=\frac{h}{\lambda}\cdot \frac{n\lambda}{2\pi}=\frac{nh}{2\pi}$

$\large r_n=\frac{n\cdot h}{2\pi\cdot m\cdot v}$

(이 때, $n$: 주양자수(전자껍질 번호), $h$: 플랑크 상수 ($6.63\times 10^{-34}$ J/s), $m$: 전자 1개 질량, $v$: 전자의 속도)

 

이를 $v$에 관한 식으로 정리하면,

$\large \color{red} {v=\frac{nh}{2\pi m r_n}}$

 

$r_n$ 구하기

아까 언급한 보어의 2번 가정 식을 가져와 보자.

$\large \frac{mv^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

 

여기에 '각운동량' 섹션에서 구한 전자의 속도 $v$를 대입하고, 정리하면 아래와 같은 식을 도출할 수 있다.

$\large r_n=\frac{\epsilon_0 \cdot h^2}{\pi \cdot m \cdot e^2}\cdot\frac{n^2}{Z}$

 

이 때, $\large \frac{\epsilon_0 \cdot h^2}{\pi \cdot m \cdot e^2}$을 보어반지름 $\bf a_0$로 치환하면 다음과 같이 정리된다.

 

$\large r_n=a_0\cdot\frac{n^2}{Z}$

 

여기서 바닥 상태의 수소 원자의 값을 대입한 보어반지름(바닥 상태의 수소 원자의 반지름을 의미함; $a_0$)은 $5.292 \times 10^{−11} m$ (약 0.529 Å, 52.9 pm)이다.

 

역학적 에너지 보존

$E=E_k+E_p$

위 역학적 에너지 보존 공식에 $\large E_p=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$, $\large E_k=\frac{1}{2}mv^2$을 대입하면,

 

$\large E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

 

보어의 2번 가정에서

$\large \frac{mv^2}{r}=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ 이므로,

 

$\large mv^2=\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r}$이다.

 

이를 위의 역학적 에너지 보존 식에 다시 대입하면,

 

$\large E=\frac{Ze^2}{8\pi \epsilon_0 \cdot r}-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

 

$\large E=-\frac{Ze^2}{8\pi \epsilon_0 \cdot r}$

 

여기에 '$r_n$ 구하기' 섹션에서 구한 r 값을 대입하면,

 

$\large E=-\frac{Z^2 e^2}{8\pi \epsilon_0\cdot a_0 \cdot n^2}=-\frac{e^2}{8\pi \epsilon_0 a_0} \cdot \frac{Z^2}{n^2}$

 

여기서, $-\frac{e^2}{8\pi \epsilon_0 a_0}$를 R로 치환하면, 다음과 같은 식을 도출할 수 있다.

 

$\large E=R\cdot \frac{Z^2}{n^2}$         ($R=-2.18\times 10^{-18}$J)

 

이를 이용하면, 뤼드베리 공식을 도출할 수 있다.

$\large \frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$

 

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Intermission

이 포스팅을 통해 보어 원자 모형과 가정 뤼드베리 공식, 수소 원자의 에너지 준위 증명 과정에 대해 살펴보았다.

다음 글에서는 흑체 복사에 대해 알아볼 것이다.

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양자역학 (2) - 흑체복사, 자외선 파탄